[SDE] 3. Itô Integrals (Part 1): 왜 새로운 적분이 필요할까? (Itô 적분의 구성)

시작에 앞서..

이 포스팅 시리즈는 Diffusion을 공부하다 SDE를 공부해야한다는 생각으로 혼자 책을 읽으며 정리한 글입니다. Bernt Øksendal 교수님의 책 “Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications¹“을 참고하여 작성하였습니다.

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지난 2.2장에서 우리는 브라운 운동(Brownian Motion)이라는 불규칙하지만 수학적으로 정의 가능한 확률 과정을 손에 넣었다.

이제 우리는 원래의 목적이었던 미분 방정식 문제로 돌아가야 한다. “노이즈(Noise)”가 섞인 시스템을 어떻게 수학적으로 모델링하고 풀 것인가? 이번 장에서는 확률 미분 방정식(SDE)의 핵심 엔진인 이토 적분(Itô Integral)을 바닥부터 쌓아 올려보자.

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1. 미분방정식의 ‘노이즈’ 항 해석하기

우리는 Introduction에서 다루었던 문제, 혹은 더 일반적인 형태의 방정식에서 “노이즈(noise)” 항을 어떻게 해석할 것인가에 대한 질문으로 돌아간다. 일반적인 미분 방정식에 노이즈 항을 추가하면 다음과 같은 꼴이 될 것이다.

\[\frac{dX}{dt} = b(t, X_t) + \sigma(t, X_t) \cdot \text{``noise''} \tag{3.1.1}\]

여기서 $b$와 $\sigma$는 주어진 함수들이다. 우선 노이즈가 1차원인 경우에 집중해 보자.

가장 합리적인 접근은 이 노이즈 항을 어떤 확률 과정 $W_t$로 표현하여 다음과 같이 쓰는 것이다.

\[\frac{dX}{dt} = b(t, X_t) + \sigma(t, X_t) \cdot W_t \tag{3.1.2}\]

1.1. “White Noise”의 딜레마

공학 등 여러 분야의 상황을 고려할 때, 우리는 $W_t$가 적어도 근사적으로는 다음의 성질들을 가질 것이라고 기대한다.

1. 독립성 (Independence):
   $t_1 \neq t_2$이면 $W_{t_1}$과 $W_{t_2}$는 서로 독립이다. (지금의 노이즈는 1초 전의 노이즈와 전혀 상관없어야 한다.)
2. 정상성 (Stationarity):
   $\{W_t\}$는 정상적(stationary)이다. 즉, 시간 $t$가 흘러도 확률 분포의 성질(평균, 분산 등)은 변하지 않는다. ($\{ W_{t_1 + t}, \dots, W_{t_k + t} \}$의 분포는 $t$에 의존하면 안된다.)
3. 평균 0:
   모든 $t$에 대해 $E[W_t] = 0$이다.

하지만 수학적으로 이 조건들을 모두 만족하는 “합리적인” 확률 과정 $W_t$는 존재하지 않는다는 것이 밝혀졌다.

• 그러한 $W_t$는 연속적인 경로(Continuous path)를 가질 수 없다.
• 심지어 $E[W_t^2]=1$이라고 가정하면, 함수 $(t, \omega) \to W_t(\omega)$는 측정 불가능(non-measurable)해진다. 즉, 적분을 하거나 확률을 계산할 수조차 없게 된다.

물론 백색 잡음(White Noise)이라는 이름으로 이를 일반화된 확률 과정(Generalized stochastic process)으로 정의할 수는 있다. 하지만 이는 일반적인 함수 공간이 아니라 분포(Distribution) 공간 $S’$ 위에서 정의되는 확률 측도이기 때문에 다루기가 매우 까다롭다.

쉽게 말해, 우리가 원하는 $W_t$는 매 순간 값이 널뛰기를 너무 심하게 해서(독립적이면서 정상적이려면), 일반적인 함수($y=f(x)$)처럼 점을 찍어서 그래프를 그릴 수 있는 대상이 아니라는 뜻이다.

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2. 이산화와 브라운 운동의 등장

따라서 우리는 존재하지도 않는 $W_t$를 직접 다루는 대신, 식 (3.1.2)를 다루기 쉬운 형태로 변형하는 우회로를 택한다. 시간을 $0 = t_0 < t_1 < \dots < t_m = t$와 같이 쪼개서 이산적인(Discrete) 버전으로 식을 다시 써보자. (연속 시간에서 $dt$를 양변에 곱한다고 생각해보자.)

\[X_{k+1} - X_k = b(t_k, X_k)\Delta t_k + \sigma(t_k, X_k) W_k \Delta t_k \tag{3.1.3}\]

여기서

\[X_j = X(t_j), \quad W_k = W_{t_k}, \quad \Delta t_k = t_{k+1} - t_k\]

이다.

이제 문제의 $W_k \Delta t_k$ 항을 살펴보자. 우리는 앞서 $W_t$에 대해 가정했던 성질(독립성, 정상성, 평균 0)을 만족하는 어떤 프로세스 $V_t$의 증분(Increment) $\Delta V_k = V_{t_{k+1}} - V_{t_k}$로 이 항을 대체하려고 한다.

놀랍게도, 정상적인 독립 증분(Stationary independent increments)을 가지면서 평균이 0이고 연속적인 경로를 가진 프로세스, 즉 앞서 말한 조건 1, 2, 3을 모두 만족시키는 프로세스는 브라운 운동(Brownian Motion) $B_t$가 유일하다. (Knight (1981))

따라서 우리는 $W_t \Delta t = V_t = B_t$로 두고, 식 (3.1.3)을 다음과 같이 고쳐 쓴다.

\[X_k = X_0 + \sum_{j=0}^{k-1} b(t_j, X_j) \Delta t_j + \sum_{j=0}^{k-1} \sigma(t_j, X_j) \Delta B_j \tag{3.1.4}\]

여기서 $\Delta t_j \to 0$으로 보내는 극한을 취하면, 우리는 다음과 같은 적분 방정식을 얻게 될 것이다.

\[X_t = X_0 + \int_0^t b(s, X_s) ds + \int_0^t \sigma(s, X_s) dB_s \tag{3.1.5}\]

앞으로 우리는 식 (3.1.2)와 같은 미분 방정식을 본다면, 이는 사실 $X_t = X_t(\omega)$는 식 (3.1.5)와 같은 적분 방정식을 만족하는 stochastic process 라고 생각하자. 이제 남은 과제는 단 하나다.

도대체 $\int f(s, \omega) dB_s(\omega)$라는 적분을 어떻게 정의할 것인가? 애초에 가능하기는 하나?

따라서, 이 장의 나머지 부분에서는, 적절한 의미에서 다음과 같은 적분

\[\int_0^t f(s, \omega) dB_s(\omega)\]

이 존재함을 증명할 것이다. 여기서 $B_t(\omega)$는 원점에서 시작하는 1차원 브라운 운동이며, $f : [0, \infty) \times \Omega \to \mathbb{R}$는 비교적 넓은 함수류에 속한다. 식 (3.1.5)의 해를 찾는 방법 이후 5장에서 다룰 것이다.

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3. 리만 적분의 실패와 적분 점의 선택

우리는 구간 $0 \leq S < T$에서 주어진 함수 $f(t, \omega)$에 대해 다음 적분을 정의하고 싶다.

\[\int_S^T f(t, \omega) dB_t(\omega) \tag{3.1.6}\]

우선, 어려운 함수를 생각하는 것 보다 간단하게 일반적인 리만 적분(Riemann-Stieltjes integral)처럼, 함수 $f$를 계단 함수(Simple function)로 근사하여 정의해 보고 이후 확장하는 것이 더 쉽지 않겠는가? 함수 $f$를 다음과 같은 형태를 가진다고 가정해보자:

\[\phi(t, \omega) = \sum_{j \geq 0} e_j (\omega) \cdot \mathcal{X}_{[j \cdot 2^{-n}, (j+1) \cdot 2^{-n})}(t), \tag{3.1.7}\]

여기서 $\mathcal{X}$는 characteristic(indicator) function(지시 함수)이고, $n$은 자연수이다. 이런 함수에 대해서 다음과 같이 적분을 정의할 수 있다.

\[\int_S^T \phi(t, \omega) dB_t(\omega) = \sum_{j \geq 0} e_j(\omega) [B_{t_{j+1}} - B_{t_j}](\omega), \tag{3.1.8}\]

여기서

\[t_k = t_k^{(n)} = \begin{cases} k \cdot 2^{-n} & \text{if } S \leq k \cdot 2^{-n} \leq T \\ S & \text{if } k \cdot 2^{-n} <ㅠ S \\ T & \text{if } k \cdot 2^{-n} > T \end{cases}\]

이다.

이 수식이 의미하는게 뭘까?
어우… 식이 갑자기 너무 어지럽게 등장한다. 식이 좀 괴랄하게 생겼을 뿐, 우리가 고등학교때 배운 리만적분(구분구적법)과 본질적으로 같다.

1. 시간 쪼개기 $t_k$
   먼저 $S$부터 $T$까지의 시간을 $n$번 잘게 나눈다. 위 식의 $j \cdot 2^{-n}$ 부분이 바로 그 역할을 한다.
2. 계단 함수 만들기 $\phi(t)$ 와 $\mathcal{X}$
   식 (3.1.7)의 지시 함수 $\mathcal{X} _ {[t_j, t_{j+1})} (t)$는 시간이 $t_j$와 $t_{j+1}$ 사이에 있을 때만 1이라는 뜻이다. 즉, $\phi(t, \omega)$는 복잡한 곡선의 형태가 아니라, 각 구간마다 $e_j$라는 일정한 높이(상수)를 가지는 계단 모양의 함수가 된다.

3. 넓이 구하기
   이제 식 (3.1.8)을 보자.

   \[\text{적분} = \sum \text{높이} \times \text{밑변}\]

   의 형태이다. 높이는 그 구간의 시작점이자 함수값 ($e_j$)이고, 밑변은 브라운 운동의 변화량 ($B_{t_{j+1}} - B_{t_j}$)이다 (우리는 지금 $B_t$에 대해 적분중이다, 즉 $dB_t$). 결국, 각 구간에서의 넓이를 모두 더한 것이다.

그런데, $e_j(\omega)$에 대해서 더 고민해보기도 전에, 벌써 문제가 생긴다.

Example 3.1.1 (점 선택의 중요성).

$f(t, \omega) = B_t(\omega)$인 경우, 즉 $\int_0^T B_t dB_t$를 계산한다고 해보자.

1. 왼쪽 끝점 선택 ($t_j^* = t_j$):

   \[\phi_1(t) = \sum B_{t_j} \cdot \mathcal{X}_{[t_j, t_{j+1})} (t)\]

   이 경우 적분값의 기댓값은 다음과 같다.

   \[E \left[ \int_0^T \phi_1 dB_t \right] = \sum E[B_{t_j}(B_{t_{j+1}} - B_{t_j})] = E[B_{t_j}] E[\Delta B] = 0\]

   (독립 증분 성질 때문에 $E[XY] = E[X]E[Y]$이고, $E[\Delta B] = 0$이므로)

2. 오른쪽 끝점 선택 ($t_j^* = t_{j+1}$):

   \[\phi_2(t) = \sum B_{t_{j+1}} \cdot \mathcal{X}_{[t_j, t_{j+1})} (t)\]

   이 경우 적분값의 기댓값은 다음과 같다.

   \[E \left[ \int_0^T \phi_2 dB_t \right] = \sum E[B_{t_{j+1}}(B_{t_{j+1}} - B_{t_j})] = \sum E[(B_{t_{j+1}} - B_{t_j})^2] = T\]

   (이유: $B_{t_{j+1}}$을 $B_{t_j} + \Delta B$로 쪼개서 계산하면 분산의 합인 $T$가 나온다.)

분명 같은 함수를 적분하려고 했는데, 하나는 기댓값이 $0$이고 다른 하나는 $T$가 나온다! 이는 브라운 운동 $B_t$의 경로가 일반적인 함수와 달리 변동(Variation)이 너무 크기 때문에, 고전적인 리만-스틸체스(Riemann-Stieltjes) 적분의 정의를 그대로 적용할 수 없다는 사실을 의미한다.

실제로 브라운 운동의 경로는 거의 모든 곳에서 미분 불가능(nowhere differentiable)하며, 경로의 총 변동(Total Variation)은 무한대이다. 우리가 고등학교 때 배웠던 미분적분학은 “확대하면 직선처럼 보인다(미분 가능)”는 전제하에 성립하지만, 브라운 운동은 아무리 확대해도 여전히 지그재그로 요동치기 때문에 이 전제가 깨지는 것이다.

따라서 확률 적분을 정의하기 위해서는, 근사 과정에서 구간 내의 점 $t_j^*$를 어디로 선택할 것인지에 대한 명확한 약속이 필요하다.

3.1. 이토의 선택 (Itô’s Choice)

우리는 두 가지 주요한 선택지 중 하나를 골라야 한다.

1. 이토 적분 (Itô Integral):
   $t_j^* = t_j$ (왼쪽 끝점). 앞으로 다음으로 표기한다.

   \[\int^T_S f(t, \omega) d B_t(\omega)\]

2. 스트라토노비치 적분 (Stratonovich Integral):
   $t_j^* = (t_j + t_{j+1})/2$ (중점). 앞으로 다음과 같이 표기한다.

   \[\int^T_S f(t, \omega) \circ d B_t(\omega)\]

우리는 여기서 이토의 선택($t_j^* = t_j$)을 따를 것이다. 이 선택의 핵심적인 의미는 “미래를 보지 않는다(Non-anticipating)”는 점이다. 시간 $t_j$에서의 함수값 $f(t_j)$는 $t_j$ 이후에 일어날 브라운 운동의 변화($B_{t_{j+1}} - B_{t_j}$)와 독립적이게 된다. 이는 생물학이나 금융 등 시간에 따라 정보가 흐르는 시스템을 모델링할 때 매우 합리적이다. 또한, 앞에서 우리는 $B_t$가 1번 조건 (서로 다른 두 시간이면 서로 독립)인 프로세스를 따른다고 했으므로, $t_{j+1}$를 고려하지 않고 $t_j$만 고려한다는 것이 합리적으로 들린다.

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4. 필수 개념: Filtration과 Adapted Process

“미래를 보지 않는다”라는 개념을 수학적으로 엄밀하게 정의하기 위해 몇 가지 정의가 필요하다.

Definition 3.1.2 (Filtration $\mathcal{F}_t$)

$B_t(\omega)$를 $n$-차원 Brownian motion이라고 하자. 이때

\[\mathcal{F}_t = \mathcal{F}_t^{(n)}\]

을 확률변수들 $\{B_i (s) \} _ { 1 \leq i \leq n, \; 0 \leq s \leq t }$에 의해 생성되는 $\sigma$-algebra로 정의한다. 다시 말해, $\mathcal{F}_t$는 다음 꼴의 모든 집합을 포함하는 가장 작은 $\sigma$-algebra이다.

\[\{ \omega \mid B_{t_1} (\omega) \in F_1, \dots, B_{t_k} (\omega) \in F_k \},\]

여기서 $t_j \leq t$이고, $F_j \subset \mathbb{R}^n$은 임의의 보렐 집합(Borel set)이며, $j \leq k = 1, 2, \dots$이다. 또한 측도 0인 모든 집합도 $\mathcal{F}_t$에 포함된다고 가정한다.

이 정의가 복잡해 보이지만, 직관적으로는 나름 간단한 이야기를 하고 있다. 책에서는 $\mathcal{F} _ t$를 다음과 같이 비유한다.

The history of $B_s$ up to time $t$.

즉, $\mathcal{F} _ t$는 시간 0부터 시간 $t$까지 브라운 운동을 관찰해서 얻을 수 있는 “모든 정보의 집합” 이다.

$\mathcal{F} _ t$-measurable의 의미
어떤 확률 변수(함수) $h(\omega)$가 $\mathcal{F} _ t$-measurable하다는 것은, 시간 $t$까지의 관측 데이터($B_s, s \leq t$)만 가지고 $h(\omega)$의 값을 확정 지을 수 있다는 뜻이다. 수학적으로는 $h$가 다음과 같은 형태의 함수들의 합의 극한으로 표현될 수 있음을 의미한다.

\[g_1(B_{t_1}) g_2(B_{t_2}) \cdots g_k(B_{t_k}) \qquad (\text{단, } t_j \leq t)\]

여기서 $g_k$는 유계 연속 함수이다. 복잡해 보이지만, 핵심은 구성에 사용된 시간이 모두 $t$보다 과거여야 한다는 점이다.

예시로 이해하기

• $h_1(\omega) = B_{t/2}(\omega)^2 + \sin(B_{t/3}(\omega))$
  → $h_1$은 $\mathcal{F} _ t$-measurable하다. (시간 $t$ 이전의 정보만 사용)
• $h_2(\omega) = B_{t+1}(\omega)$
  → $h_2$는 $\mathcal{F} _ t$-measurable하지 않다. (시간 $t$ 이후의 정보가 필요)

시간이 흐를수록 우리는 더 많은 것을 알게 된다. 어제 알았던 사실을 오늘 까먹지는 않는다. 따라서 $s < t$이면, 시간 $s$까지의 정보는 시간 $t$까지의 정보에 완전히 포함된다.

\[\mathcal{F} _ s \subseteq \mathcal{F} _ t \quad \text{for } s < t\]

이러한 성질 때문에 $\{\mathcal{F} _ t \}$를 증가하는 족(Increasing family)라고 부른다.

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Definition 3.1.3 (Adapted Process) 함수 $g(t, \omega)$가 각 $t$에 대해 $\mathcal{F}_t$measurable이면, 이 프로세스를 $\mathcal{F}_t$-adapted라고 한다.

이제 우리는 아무 함수나 적분하는 것이 아니라, 다음 조건을 만족하는 함수들의 클래스 $\mathcal{V}(S, T)$에 대해서만 이토 적분을 정의할 것이다.

Definition 3.1.4 (클래스 $\mathcal{V}(S, T)$의 조건)

$\mathcal{V}=\mathcal{V}(S, T)$는 다음 세 가지 조건을 모두 만족하는 함수들의 집합이다.

\[f(t, \omega) : [0, \infty) \times \Omega \to \mathbb{R}\]

1. $(t, \omega) \to f(t, \omega)$는 $\mathcal{B} \times \mathcal{F}$-measurable이다.
2. $f(t, \omega)$는 $\mathcal{F}_t$-adapted이다. (미래를 보지 않는다)
3. $E \left[ \int_S^T f(t, \omega)^2 dt \right] < \infty$ (제곱 적분 가능하다).

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5. 이토 적분의 구성 1: 단순 함수와 Isometry

이제 $\mathcal{V}$에 속하는 함수 $f$에 대해 이토 적분 $\mathcal{I}[f]$를 정의해 보자. 과정은 다음과 같다.

1. 단순한 함수(Elementary function) $\phi$에 대해 먼저 정의한다.
2. 일반 함수 $f$를 $\phi$들로 근사(Approximate)하여 극한을 취한다.

단순 함수 (Elementary Functions)

함수 $\phi \in \mathcal{V}$가 다음과 같은 꼴일 때 Elementary하다고 한다.

\[\phi(t, \omega) = \sum_j e_j(\omega) \cdot \mathcal{X}_{[t_j, t_{j+1})}(t) \tag{3.1.9}\]

여기서 $e_j$는 $\mathcal{F}_{t_j}$-measurable이어야 한다. 이 함수에 대한 적분은 우리가 처음에 시도했던 그 합으로 정의한다.

\[\int_S^T \phi(t, \omega) dB_t(\omega) = \sum_{j \ge 0} e_j(\omega)[B_{t_{j+1}} - B_{t_j}](\omega) \tag{3.1.10}\]

이토 적분의 가장 강력하고 중요한 성질이 여기서 등장한다.

Lemma 3.1.5 (The Itô Isometry) $\phi$가 유계이고 Elementary하면 다음이 성립한다.

\[E \left[ \left( \int_S^T \phi(t, \omega) dB_t(\omega) \right)^2 \right] = E \left[ \int_S^T \phi(t, \omega)^2 dt \right] \tag{3.1.11}\]

증명:
$\Delta B_j = B_{t_{j+1}} - B_{t_j}$라고 하자. 서로 다른 구간 $i \neq j$에 대해서는 독립 증분 성질에 의해 기댓값이 0이 된다 ($E[\Delta B_i \Delta B_j] = 0$). 오직 $i=j$인 항들만 살아남으며, 이때 $(\Delta B_j)^2$의 기댓값은 구간의 길이 $(t_{j+1} - t_j)$가 된다.

\[E\left[ \left( \sum e_j \Delta B_j \right)^2 \right] = \sum E[e_j^2] (t_{j+1} - t_j) = E \left[ \int_S^T \phi^2 dt \right]\]

이 등식 덕분에 복잡한 확률 적분의 분산 계산이 일반적인 리만 적분 계산($dt$)으로 바뀌게 된다!

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6. 이토 적분의 완성

이제 마지막 단계다. 일반적인 함수 $f \in \mathcal{V}$에 대해, 다음 조건을 만족하는 Elementary 함수들의 수열 ${\phi_n}$을 찾을 수 있다 (근사 정리). 쉽게 생각하면, 리만 적분에서 구분구적법을 사용할 때 함수를 계단 함수로 근사하고, $n \to \infty$로 보내는 것과 본질적으로 같다.

\[E \left[ \int_S^T (f - \phi_n)^2 dt \right] \to 0 \quad \text{as } n \to \infty\]

이때 이토 등거리 성질(Itô Isometry)에 의해, 적분값들의 수열 $\int \phi_n dB$도 $L^2(P)$ 공간에서 코시 수열(Cauchy sequence)이 되어 수렴한다.

Definition 3.1.6 (The Itô Integral) $f \in \mathcal{V}(S, T)$에 대하여 이토 적분은 다음과 같이 $L^2(P)$ 극한으로 정의된다.

\[\mathcal{I} \left[ f \right] (\omega) := \int_S^T f(t, \omega) dB_t(\omega) = \lim_{n \to \infty} \int_S^T \phi_n(t, \omega) dB_t(\omega) \tag{3.1.12}\]

여기서 ${\phi_n}$은 다음을 만족하는 Elementary 함수들의 수열이다.

\[E \left[ \int_S^T \left( f(t, \omega) - \phi_n \right)^2 dt \right] \to 0 \quad \text{as } n \to \infty \tag{3.1.13}\]

이 극한은 근사 함수열 $\phi_n$을 어떻게 잡든 상관없이 유일하게 존재한다.

Example 3.1.9. $B_0 = 0$이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

\[\int_0^t B_s dB_s = \frac{1}{2} B_t^2 - \frac{1}{2} t\]

증명

먼저 elementary 함수를 정의하고, (식 3.1.13)을 만족하는지 확인하자.

\[\phi_n (s, \omega ) = \sum B_j ( \omega ) \cdot \mathcal{X}_{[t_j, t_{j+1})}(s)\]

로 정의하자. 그러면 $\phi_n$은 $B_s$를 계단 함수로 근사하는 Elementary 함수가 된다. 여기서 $B_j=B_{t_j}$이다. 이때,

\[E\left[ \int_0^t (\phi_n - B_s)^2 ds \right] = E \left[ \int_0^t \left( \sum B_j \cdot \mathcal{X}_{[t_j, t_{j+1})}(s) - B_s \right)^2 ds \right]\]

$\phi_n$은 구간 $s\in [t_j, t_{j+1})$에서 $B_j$로 일정하므로 적분을 구간마다 쪼개어서 다시 쓰면,

\[= E \left[ \sum_j \int_{t_j}^{t_{j+1}} (B_j - B_s)^2 ds \right]\]

기댓값의 선형성 때문에 우리는 기댓값을 안으로 넣을 수 있다.

\[= \sum_j \int_{t_j}^{t_{j+1}} E[(B_j - B_s)^2] ds\]

여기서 브라운 운동의 성질 $B_s - B_j \sim \mathcal{N}(0, s-t_j)$ 이므로, $E[(B_j - B_s)^2] = s - t_j$가 된다. 따라서,

\[= \sum_j \int_{t_j}^{t_{j+1}} (s - t_j) ds \\\]

이후 그냥 적분하고, $n \to \infty$, 즉, $\Delta t_j = t_{j+1} - t_j \to 0$으로 보내면,

\[= \sum_j \frac{1}{2} (t_{j+1} - t_j)^2 \rightarrow 0 \quad \text{as } \Delta t_j \to 0.\]

따라서 $\phi_n$이 $B_s$를 $L^2$에서 근사하는 Elementary 함수열이 된다. 이제 이토 적분의 정의(식 3.1.12)에 따라,

\[\begin{aligned} \int_0^t B_s dB_s &= \lim_{n \to \infty} \int_0^t \phi_n(s) dB_s \\ &= \lim_{\Delta t_j \to 0} \sum_j B_j \Delta B_j \\ &= \lim_{\Delta t_j \to 0} \sum_j B_j (B_{j+1} - B_j) \\ &= \lim_{\Delta t_j \to 0} \sum_j \left( B_j B_{j+1} - B_j^2 \right) \\ &= \lim_{\Delta t_j \to 0} \sum_j \left( \frac{1}{2} (B_{j+1}^2 - B_j^2) - \frac{1}{2} (B_{j+1} - B_j)^2 \right) \end{aligned}\]

여기서 $B_0=0$ 이므로, $\sum_j (B_{j+1}^2 - B_j^2) = B_t^2 - B_0^2 = B_t^2$가 되고, $\sum_j (B_{j+1} - B_j)^2$는 브라운 운동의 총 변동이므로 $t$가 된다. 따라서,

\[\int_0^t B_s dB_s = \lim_{\Delta t_j \to 0} \left( \frac{1}{2} B_t^2 - \frac{1}{2} t \right) = \frac{1}{2} B_t^2 - \frac{1}{2} t.\]

이토 적분은 일반 적분과 다르게 작동하기 때문에 추가 항 $\frac{1}{2} t$가 나타난다.

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마치며

이번 장에서는 이토 적분의 정의와 구성 과정을 살펴보았다. 브라운 운동의 경로가 일반적인 함수와 달리 너무 불규칙하기 때문에, 고전적인 리만 적분을 그대로 적용할 수 없다는 사실에서 출발하여, 이토의 선택에 따라 적분 점을 왼쪽 끝점으로 고정하는 방식으로 이토 적분이 탄생하게 되었다. 다음 장에서는 더 쉬운 계산을 위해 이토 적분의 이토의 공식(Itô’s formula)을 살펴보자.

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Reference

1. Bernt Øksendal, Stochastic Differential Equations, Springer, 2003. DOI: 10.1007/978-3-642-14394-6. ↩︎