[SDE] 1. Introduction

시작에 앞서..

이 포스팅 시리즈는 Diffusion을 공부하다 SDE를 공부해야한다는 생각으로 혼자 책을 읽으며 정리한 글입니다. Bernt Øksendal 교수님의 책 “Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications¹“을 참고하여 작성하였습니다.

1. Introduction

확률미분방정식(SDE)이 왜 중요한 주제인지 독자를 설득하기 위해, 이러한 방정식이 등장하고 활용될 수 있는 몇 가지 상황을 언급해 보자.

1.1 Stochastic Analogs of Classical Differential Equations

미분방정식의 계수들에 약간의 무작위성을 허용하면, 우리는 종종 그 상황을 더 현실적으로 반영하는 수학적 모델을 얻게 된다.

Problem 1.

다음의 단순한 개체수 증가 모형을 고려하자.

\[\frac{dN}{dt}=a(t)N(t), \qquad N(0) = N_0 (\text{상수}) \tag{1.1.1}\]

여기서 $N(t)$는 시각 $t$에서의 개체수이며, $a(t)$는 시각 $t$에서의 상대적 성장률이다. 그런데, $a(t)$가 완전히 알려져 있지 않고, 어떤 무작위적인 환경적 영향에 따라 변할 수도 있다. 따라서 우리는 다음과 같이 쓸 수 있다.

\[a(t) = r(t) + \text{``noise''}\]

이때 이 noise 항의 정확한 시간적 거동(변화 형태)은 알 수 없고, 단지 그 확률 분포만 알고 있다고 하자. 그리고 함수 $r(t)$는 결정론적 (nonrandom)이라고 하자. 이 경우, 식 (1.1.1)을 어떻게 풀 수 있을까?

Problem 2.

어떤 전기회로의 고정된 한 지점에서 시간 $t$일 때의 전하 $Q(t)$는 다음 미분방정식을 만족한다.

\[L \cdot Q''(t) + R \cdot Q'(t) + \frac{1}{C} \cdot Q(t) =F(t), \quad Q(0) = Q_0, \quad Q'(0) = I_0 \tag{1.1.2}\]

여기서 $L$은 inductance, $R$은 resistance, $C$는 capacitance이며, $F(t)$는 시간 $t$에서의 potential source를 의미한다. 우리는 다시, 계수들 중 일부 (예를 들어 $F(t)$)가 deterministic하지 않고, 다음과 같은 형태일 수 있는 상황을 고려할 수 있다:

\[F(t) = G(t) + \text{``noise''}\]

이 경우, 식 (1.1.2)를 어떻게 풀 수 있을까?

보다 일반적으로, 미분방정식의 계수에 randomness를 허용하여 얻는 방정식을 stochastic differential equation(SDE) 라고 부른다. 이러한 정의는 뒤에서 더 정확히 다룰 것이다. SDE의 해는 당연히 randomness를 포함할 수밖에 없으므로, 우리가 기대할 수 있는 것은 해 자체를 정확히 구하는 것이 아니라 그 해가 따르는 확률 분포(probability distributions) 에 대해 어떤 정보를 얻는 정도이다.

1.2 Filtering Problems

Problem 3.

이제 Problem 2의 해에 대해 더 잘 이해하기 위해, 시각 $s \leq t$에서 $Q(s)$를 관측한다고 하자. 하지만 실제로는 관측 과정의 부정확성 때문에 $Q(s)$ 자체를 정확히 측정하지 못하고, 아래와 같은 교란된 형태만 얻는다고 하자:

\[Z(s) = Q(s) + \text{``noise''} \tag{1.2.1}\]

즉, 이 경우에는 두 종류의 noise가 존재하게 된다. 하나는 원래 시스템(problem 2)에 포함된 noise이고, 다른 하나는 관측 과정에서 생기는 measurement error이다.

여기서 filtering problem이라고 하는 것은 다음과 같다: (1.1.2)를 만족하는 $Q(t)$를, $s \leq t$인 시각들에서 얻은 관측값 $Z_s$로부터 가장 잘 추정하려면 어떻게 해야 하는가? 직관적으로 말하면, 목표는 관측값들에 섞여 있는 noise를 “최적의 방식으로” 제거하여 실제 상태 $Q(t)$에 대한 최선의 estimate를 얻는 것이다.

1960년에 Kalman과 1961년에 Kalman 및 Bucy가 이 문제에 대해 Kalman-Bucy filter라고 불리우는 해법을 제시했다. 이 필터는 기본적으로 시스템의 상태를 추정하는 방법을 제시하는데, “noisy”한 관측을 기반하여 “noisy”한 시스템의 상태를 추정하는 방법을 제시한다.

거의 즉시, 이 발견은 항공우주 공학(Ranger, Mariner, Apollo 등)에 응용되었고, 현재는 매우 다양한 분야에 걸쳐 활용되고 있다. 따라서 Kalman-Bucy filter는 최근에 이루어진 수학적 발견 중에서 이미 실질적으로 유용함이 입증된 사례이며, 단순히 “잠재적으로” 유용한 것에 그치지 않는다.

또한 이는 “응용 수학은 수준 낮은 수학이다”라는 주장이나, “정말로 유용한 수학은 초등 수준의 수학뿐이다”라는 주장에 대한 반례이기도 하다. 왜냐하면 Kalman-Bucy filter, 그리고 전체적으로 SDE 이론은 고급이며, 흥미롭고, 일류의 수학을 포함하고 있기 때문이다.

1.3 Stochastic Approach to Deterministic Boundary Value Problems

Problem 4.

가장 유명한 예시는 Dirichlet problem 의 stochastic solution이다. 어떤 “적당한(reasonable)” 영역 $U \subset \mathbb{R}^n$이 있고, 그 경계 $\partial U$ 위에서 연속인 함수 $f$가 주어졌다고 하자. 우리의 목표는 closure $\bar{U}$ 위에서 연속인 함수 $\tilde{f}$를 찾아서 다음 두 조건을 만족하게 하는 것이다:

1. $\tilde{f}=f$ on $\partial U$
2. $\tilde{f}$가 $U$ 안에서 harmonic, 즉

\[\Delta \tilde{f} := \sum^n_{i=1} \frac{\partial^2 \tilde{f}}{\partial x^2_i}=0 \quad \text{in} \quad U\]

1944년, Kakutani는 이 문제의 해가 Brownian motion을 이용해 표현될 수 있음을 증명했다 (Brownian motion은 2장에서 설명). 구체적으로 $\tilde{f}$는 점 $x \in U$에서 시작한 브라운 운동이 $U$를 처음 빠져나갈 때 도달하는 경계점에서 $f$값의 기댓값으로 표현된다.

더 놀라운 사실은, 이것이 전체 그림의 “빙산의 일각”에 불과하다는 점이다.
반타원형(semieliptic) 성질을 갖는 훨씬 넓은 계열의 2계 편미분방정식 역시, 적절한 stochastic process를 이용하여 해석할 수 있으며, 그 stochastic process는 해당 PDE와 연관된 stochastic differential equation(SDE) 의 해가 된다.

1.4 Optimal Stopping

Problem 5.

어떤 사람이 팔려고 하는 자산(예: 집, 주식, 석유 등)을 가지고 있다고 하자. 이 자산의 시장 가격 $X_t$는, Problem 1.과 같은 형태의 SDE를 따른다고 하자.

\[\frac{dX_t}{dt} = rX_t + \alpha X_t \cdot \text{``noise''}\]

여기서 $r$, $\alpha$는 알려진 상수이다. 할인률(discount rate)도 알려진 상수 $\rho$라고 하자. 그렇다면 그녀는 언제 이 자신을 파는 것이 좋을까?

우리는 그녀가 현재 시각 $t$까지의 $X_s$의 거동을 알고 있다고 가정한다. 그러나 시스템에 존재하는 noise 때문에, 그녀는 당연히 매도 시점에서 자신의 선택이 최선이었는지 확신할 수 없다. 따라서 우리가 찾고자 하는 것은, 장기적으로 가장 좋은 결과를 주는 stopping strategy—즉, 인플레이션을 고려했을 때 기대(expected) 이익을 최대화하는 전략이다.

이것이 바로 optimal stopping problem이다. 흥미롭게도, 이 문제의 해는 대응되는 boundary value problem(Problem. 4)의 해로 표현될 수 있음이 밝혀졌다. 다만 여기서는 경계(boundary)가 알려진 값이 아니라 unknown(자유 경계, free boundary)이며, 그에 따른 보정은 이중의 경계 조건 (double set of boundary conditions)로 나타낸다. 또한 이 해는 variational inequalities 라는 형태로도 표현될 수 있다.

1.5 Stochastic Control

Problem 6. (An Optimal protfolio problem).

어떤 사람이 두 가지 투자 수단을 가지고 있다고 하자:

1. 안전한 투자 (safe investment, e.g. 채권). 이때 단위당 가격 $X_0(t)$는 시간 $t$에 대해 지수적으로 증가하며, \(\frac{dX_0}{dt} = \rho X_0 \tag{1.5.1}\) 여기서 $\rho > 0$은 상수이다.

2. 위험한 투자(risky investment, e.g. 주식). 이때 단위당 가격 $X_1(t)$는 Problem 1.에서 다룬 형태의 SDE를 만족한다:

   \[\frac{dX_1}{dt} = (\mu + \sigma \cdot \text{``noise''})X_1 \tag{1.5.2}\]

   여기서 $\mu > \rho$ 이고 $\sigma \in \mathbb{R} \backslash { 0 }$은 상수이다.

각 시각 $t$에서, 이 사람은 자신의 재산 $Z_t$ 중에서 위험한 투자에 얼마나 큰 비율 $u_t$를 투자할지 선택할 수 있으며, 나머지 $(1-u_t)Z_t$는 안전한 투자에 넣게 된다. Utility function $U$와 최종 시각 $T$가 주어졌을 때, 문제는 최적의 portfolio $u_t\in[0, 1]$을 찾는 것이다. 즉, 대응하는 terminal fortune $Z_T^{(u)}$의 기대 utility를 최대화하도록 투자 비율 $u_t \quad (0 \leq t \leq T)$를 결정하는 문제이다:

\[\max_{0 \le u_t \le 1} \left\{ \mathbb{E} \left[ U\!\left( Z_T^{(u)} \right) \right] \right\} \tag{1.5.3}\]

1.6 Mathematical Finance

Problem 7. (Pricing of options)

Problem 6.의 사람이 $t=0$ 시점에, 위험한 자산을 미래 시점 $t=T$에 미리 정해진 가격 $K$로 살 권리(right)(하지만 의무는 없음)를 제안받았다고 하자. 이러한 권리를 European call option이라고 부른다. 그렇다면 이 사람은 이러한 옵션을 위해 얼마까지 지불하려 할까?

이 문제는 Fischer Black과 Myron Scholes(1973)가 stochastic analysis와 균형(equilibrium) 논증을 사용하여 옵션 가격에 대한 이론적 값을 계산함으로써 해결되었다. 이 값이 바로 널리 알려진 Black–Scholes option price formula이다. 이 이론적 가치는, 이미 자유 시장에서 형성되어 있던 가격들과 잘 일치했다. 따라서 이는 금융 분야에서의 수학적 모델링의 커다란 성공을 의미했다.

이 공식은 옵션 및 기타 금융 파생상품의 거래에서 없어서는 안 될 도구가 되었으며, 1997년에 Myron Scholes와 Robert Merton은 이 공식과 관련된 업적으로 노벨 경제학상을 수상했다. (Fischer Black은 1995년에 사망하였다.)

Conclusion

여기서 살펴본 문제들은 이후 챕터들에서 필요한 수학적 도구들을 모두 공부한 뒤 다시 살펴볼 것이다. Problem 1.과 Problem 2.는 5장에서 다룬다. 필터링과 관련된 문제들(Problem 3.)은 6장에서, 일반화된 Dirichlet problem(Problem 4.)은 9장에서 다룬다. Problem 5.는 10장에서, stochastic control 문제들(Problem 6.)은 11장에서 논의된다. 마지막으로, 12장에서는 수리금융(mathematical finance) 분야의 응용을 다룬다.

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Reference

1. Bernt Øksendal, Stochastic Differential Equations, Springer, 2003. DOI: 10.1007/978-3-642-14394-6. ↩︎