[Stochastic Differential Equations, SDE] Ch.1 Introduction

시작에 앞서..

이 포스팅 시리즈는 Diffusion을 공부하다 SDE를 공부해야한다는 생각으로 혼자 책을 읽으며 정리한 글입니다. Bernt Øksendal 교수님의 책 “Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications¹“을 참고하여 작성하였습니다.

1. Introduction

SDE(Stochastic Differential Equations)는 기존 미분방정식에서 확률과정이 들어간 방정식을 일컫는다. 제대로 공부하기 전에 SDE가 어떤 곳에 쓰이는지 대표적인 문제들을 짚어보자.

1.1 Stochasic Analogs of Classical Differential Equations

Problem 1. 간단한 인구 증가 모델을 살펴보자.

\[\frac{dN}{dt} = a(t)N(t), \quad N(0) = N_0 \quad (constant) \tag{1.1.1}\]

여기서 $N(t)$는 시간 $t$에서의 인구, $a(t)$는 시간 $t$에서의 인구 증가율이다. 어떤 랜덤한 환경의 영향으로 인구 증가율은 확률적으로 변할 것이다.

\[a(t) = r(t) + \text{"noise"}\]

여기서 우리는 “noise”항이 어떤 확률분포를 가지는지는 알지만, 정확히 어떻게 동작하는지 모른다고 하고, $r(t)$는 deterministic한 함수라고 가정해보자. (1.1.1)은 어떻게 풀어야 할까?

Problem 2. 전기 회로의 고정된 한 지점에서의 전하 $Q(t)$는 다음과 같은 미분방정식을 만족한다:

\[L \cdot Q''(t) + R \cdot Q'(t) + \frac{1}{C}Q(t) = F(t), \quad Q(0) = Q_0, \quad Q'(0) = I_0 \tag{1.1.2}\]

여기서 $L, R, C$는 각각 인덕턴스, 저항, 정전용량을 나타내며, $F(t)$는 시간 $t$에서의 전원 전압(potential source)를 나타낸다. 여기서도, $F(t)$가 결정론적이지 않다고 생각해보자.

\[F(t) = G(t) + \text{"noise"} \tag{1.1.3}\]

이 경우에는 또 (1.1.2)를 어떻게 풀어야 할까?

더 일반적으로, 우리는 일반 미분방정식의 coefficients에 확률적인 과정을 허용하는 것을 stochastic differential equations라고 부른다. 자세한 내용은 이후 챕터들에서 하나씩 배우게 되겠지만, SDE의 해는 결정론적이지 않고 확률을 내포하고 있음으로, 해를 직접 구할 수는 없고 해의 확률 분포를 알게 된다.

1.2 Filtering Problems

Problem 3. 센서로부터 얻은 데이터를 통해 시스템의 상태를 추정하는 문제를 생각해보자. 가령, (1.1.1)과 같은 시스템에서 시간 $s \leq t$에서 $Q(s)$에 대한 관측 $Z(s)$을 구했다고 하자. 하지만, 관측의 오차 때문에 우리는 $Q(s)$를 관측했다고 말할 수 없고, 분포적인 정보를 가지게 된다:

\[Z(s) = Q(s) + \text{"noise"} \tag{1.2.1}\]

이 경우에는 두 가지의 노이즈가 들어가게 된다. 하나는 시스템의 오차((1.1.3)의 “noise”)이고, 다른 하나는 관측의 오차((1.2.1)의 “noise”)이다.

Filtering problem은: (1.2.1)의 관측을 기반으로 (1.1.2)를 만족하는 $Q(t)$에 대한 최적의 추정은 무엇일까? 를 찾는 문제이다. 직관적으로 이 문제는 관측 단계에서 생기는 noise를 필터링해서 제거시킬 수 있다고 생각할 수 있다.

1960년에 Kalman과 1961년에 Kalman 및 Bucy가 이 문제에 대해 Kalman-Bucy filter라고 불리우는 해법을 제시했다. 이 필터는 기본적으로 시스템의 상태를 추정하는 방법을 제시하는데, “noisy”한 관측을 기반하여 “noisy”한 시스템의 상태를 추정하는 방법을 제시한다.

거의 즉시, 이 발견은 항공우주 공학(Ranger, Mariner, Apollo 등)에 응용되었고, 현재는 매우 다양한 분야에 걸쳐 활용되고 있다. 따라서 Kalman-Bucy filter는 최근에 이루어진 수학적 발견 중에서 이미 실질적으로 유용함이 입증된 사례이며, 단순히 “잠재적으로” 유용한 것에 그치지 않는다. 또한 이는 “응용 수학은 수준 낮은 수학이다”라는 주장이나, “정말로 유용한 수학은 초등 수준의 수학뿐이다”라는 주장에 대한 반례이기도 하다. 왜냐하면 Kalman-Bucy filter, 그리고 전체적으로 SDE 이론은 고급이며, 흥미롭고, 일류의 수학을 포함하고 있기 때문이다. (라고 하는데 칼만 필터 학부 수업때 들으면서 고통받았던 기억이…)

1.3 Stochastic Approach to Deterministic Boundary Value Problems

Problem 4. SDE에서 가장 유명한 예는 Dirichlet 문제의 확률적 해석이라고 한다. $\mathbb{R}^n$에서의 (적당한 조건을 만족하는) 영역 $ U $와, 그 경계 $ \partial U $ 위에서 정의된 연속 함수 $ f $가 주어졌을 때, 다음 조건을 만족하는 함수 $ \tilde{f} $를 구하라:

1. $ \tilde{f} = f $ on $ \partial U $
2. $ \tilde{f} $는 $ U $에서 조화함수(harmonic function)이다. 즉,

\[\Delta \tilde{f} := \sum_{i=1}^n \frac{\partial^2 \tilde{f}}{\partial x_i^2} = 0 \quad \text{in } U\]

1944년, Kakutani는 이 문제의 해가 브라운 운동(Brownian motion)을 통해 표현될 수 있음을 증명했다 (브라운 운동은 2장에서 배운다).
즉, $ \tilde{f}(x) $는 점 $ x \in U $에서 시작한 브라운 운동이 $ U $를 처음 빠져나갈 때 도달하는 경계점에서의 $ f $ 값의 기댓값으로 표현된다.

이 결과는 빙산의 일각에 불과함이 밝혀졌다.
보다 일반적인 준타원형(semi-elliptic) 2차 편미분 방정식의 넓은 범주에서도, 해당하는 Dirichlet 경계값 문제는 연관된 확률 미분 방정식(SDE)의 해인 확률과정을 이용해 풀 수 있다.

1.4 Optimal Stopping

Problem 5. 어떤 사람이 자산 또는 자원(주택, 주식, 석유 등)을 보유하고 있으며, 이를 팔 계획이라고 하자. 시점 $ t $에서 자산의 시장 가격 $ X_t $는 Problem 1.에서와 같은 형태의 확률 미분 방정식에 따라 변화한다:

\[\frac{dX_t}{dt} = rX_t + \alpha X_t \cdot \text{“noise”}\]

여기서 $ r $, $ \alpha $는 알려진 상수이다. 또한 할인율(discount rate) $ \rho $도 주어진 상수라고 하자.
이때, 그는 언제 팔아야 할까?

그가 현재 시점 $ t $까지의 자산 가격 $ X_s $의 추세는 알고 있다고 가정한다. 하지만 시스템에 noise가 존재하므로, 실제 매도 시점에서 자신의 결정이 최선이었는지는 확신할 수 없다.

따라서 우리가 찾고자 하는 것은 장기적으로 기대 수익을 최대화하는 판매 시점이다. 즉, 인플레이션을 고려한 기대 이익을 최대화하는 정지 전략(stopping strategy)을 구하는 것이 목표이다.

이 문제는 전형적인 최적 정지 문제(optimal stopping problem)이다. 그리고 그 해는 다음 두 가지 방식으로 표현될 수 있다:

1. Problem 4.에서의 경계값 문제(boundary value problem)의 해를 통해 표현되며, 이때는 경계(boundary)가 알려지지 않은 자유 경계(free boundary)로 주어지고, 이를 보완하기 위해 이중 경계 조건(double boundary conditions)이 추가된다.

2. 또는 하나의 변분 부등식(variational inequality) 집합을 이용해 표현될 수도 있다.

1.5 Stochastic Control

한 사람이 두 가지 투자 선택지를 가지고 있다고 하자:

1. 안전한 투자 (예: 채권):
   이때 단위당 가격 $ X_0(t) $는 시간 $ t $에 따라 지수적으로 증가하며 다음을 만족한다:

   \[\frac{dX_0}{dt} = \rho X_0 \tag{1.5.1}\]

   여기서 $ \rho > 0 $는 상수이다.

2. 위험한 투자 (예: 주식):
   이때 단위당 가격 $ X_1(t) $는 문제 1에서 다룬 SDE를 따른다:

   \[\frac{dX_1}{dt} = (\mu + \sigma \cdot \text{“noise”}) X_1 \tag{1.5.2}\]

   여기서 $ \mu > \rho $, $ \sigma \in \mathbb{R} \setminus {0} $는 상수이다.

각 시점 $ t $에서 이 사람은 자신의 자산 $ V_t $ 중 어느 비율 $ u_t \in [0, 1] $을 위험한 투자에 배분할지 선택할 수 있다.
즉, 그는 $ u_t V_t $를 주식에, $ (1 - u_t) V_t $를 채권에 투자한다.

어떤 효용 함수(utility function) $ U $와 최종 시점 $ T $가 주어졌을 때, 목적은 다음을 만족하는 최적 포트폴리오 $ u_t $를 찾는 것이다:

• 시각 $ t \in [0, T] $ 동안 투자 분포 $ u_t $를 결정하여,
• 최종 시점 $ T $의 자산 $ V_T(u) $에 대한 기대 효용을 최대화한다:

\[\max_{0 \leq u_t \leq 1} \left\{ \mathbb{E}\left[ U\left(V_T(u)\right) \right] \right\} \tag{1.5.3}\]

이것이 우리가 풀고자 하는 최적 포트폴리오 선택 문제이다.

1.6 Mathematical Finance

이 문제는 현재 나의 관심사에는 있지 않다. 시간이 나면 나중에 revisit 할 수도 있겠지만, 일단은 넘어간다.

Conclusion

여기서 나온 문제들은 모두 이후 챕터에서 다룰 내용들이다. Problem 1, 2는 Ch.5에서, Problem 3은 Ch.6에서, Problem 4는 Ch.9에서, Problem 5는 Ch.10에서, Problem 6은 Ch.11에서 다룰 예정이다. 마지막으로 Mathematical Finance는 책 Ch.12에서 다루지만, 아마 Ch.12는 공부하지 않을 듯 싶다. (그냥 관심이 없어서..) Diffusion을 공부하면서 필요한 SDE 지식과, 내가 가지고 있는 아이디어를 풀기 위해서는 확률최적제어이론(Ch.11)까지는 공부해야 할 것 같다.

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Reference

1. Bernt Øksendal, Stochastic Differential Equations, Springer, 2003. DOI: 10.1007/978-3-642-14394-6. ↩︎