[기초계산수학] 1.1 Four Special Matrices

시작에 앞서..

이 포스팅 시리즈는 대학원 수업 [기초계산수학]의 내용을 바탕으로 정리한 글입니다. Gilbert strang 교수님의 책 “Computational science and engineering¹“을 참고하여 작성하였습니다.

1. 서론: 행렬의 의미와 중요성

행렬은 단순한 숫자의 배열이 아니라, 연산자(operator) 로서의 의미를 가질 수 있다.
예를 들어, 행렬 $A$ 가 벡터 $x$ 에 작용하여 $Ax$ 를 만든다고 할 때, 벡터의 원소들은 물리적인 의미(변위, 압력, 전압, 가격, 농도 등)를 가질 수 있으며, 행렬은 이를 변환하는 역할을 한다.

이 장에서는 네 가지 중요한 행렬 패밀리인 Toeplitz 행렬과 그 변형들을 다룬다.
이들은 수학적 이론뿐만 아니라, 수치 해석, 신호 처리, 물리학 등 다양한 응용 분야에서 핵심적인 역할을 한다.

2. Toeplitz 행렬 $K_n$

Toeplitz 행렬은 대각선이 일정한 값을 가지는 특수한 행렬이다.
그중에서도 삼중 대각 행렬(Tridiagonal Matrix) 형태를 가지는 $K_n$ 행렬은 매우 중요한 성질을 갖는다.

2.1. $K_n$ 행렬의 형태

\(K_n = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 \end{bmatrix}\)

이 행렬의 특징은 다음과 같다.

2.2. $K_n$ 의 특징

1. 대칭 행렬(Symmetric Matrix)
   • 행렬의 전치 $K^T = K$ 이 성립함.
2. 희소 행렬(Sparse Matrix)
   • 대부분의 원소가 0이며, 비대각 원소는 총 $2(n-1)$ 개.
3. 삼중 대각 행렬(Tridiagonal Matrix)
   • 주대각선에 2, 첫 번째 상·하부 대각선에 -1.
4. 상수 계수를 가지는 행렬
   • Fourier 변환과 관련이 깊으며, 물리 시스템에서 이산 라플라시안(Discrete Laplacian) 역할을 함.
5. 역행렬이 존재하는 양의 정부호(Positive Definite) 행렬
   • 모든 고유값이 양수이므로, 선형 방정식 $K_n x = b$ 를 안정적으로 해결할 수 있음.

3. Circulant 행렬 $C_n$

Toeplitz 행렬을 변형하여, 대각선이 순환(circular)하는 행렬을 만들 수도 있다.

\[C_4 = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & -1 & 2 \end{bmatrix}\]

3.1. $C_n$ 행렬의 특징

• Toeplitz 행렬과 유사하지만, 네 모서리(-1 값)가 추가됨.
• Circulant 행렬이며, Fourier 변환을 사용하여 빠르게 대각화할 수 있음.
• 특이행렬(Singular Matrix): 행렬식이 0이므로, 역행렬이 존재하지 않음.

3.2. 왜 $C_n$ 은 특이행렬인가?

행렬의 모든 행을 더하면, 결과가 0 벡터가 된다.
즉, 모든 원소가 1인 벡터 $u = (1, 1, 1, 1)^T$ 가 null space 에 포함된다.
이는 곧 선형 종속이 존재함을 의미하며, 역행렬이 존재하지 않는다는 것을 의미한다.

4. 변형된 Toeplitz 행렬: $T_n$ 과 $B_n$

Toeplitz 행렬의 변형으로, 특정한 경계 조건(Boundary Conditions)을 적용한 행렬들이 존재한다.

4.1. $T_n$ 행렬 (변형된 Toeplitz 행렬)

\(T_n = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \end{bmatrix}\)

• 첫 번째 행의 (1,1) 원소가 1로 변경됨.
• 역행렬이 존재하며, 모든 고유값이 양수인 양의 정부호 행렬(Positive Definite Matrix) 임.

4.2. $B_n$ 행렬

\(B_n = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}\)

• 첫 번째와 마지막 원소가 모두 1로 변경됨.
• $C_n$ 과 마찬가지로 특이행렬(Singular Matrix).

5. 결론

Toeplitz 행렬은 수치 해석과 신호 처리에서 핵심적인 역할을 하는 행렬이다.
특히, $K_n$, $C_n$, $T_n$, $B_n$ 같은 특정한 구조를 가진 행렬들은 푸리에 변환, 미분 방정식, 물리적 시스템 해석 등에서 자주 사용된다.

• $K_n$: 양의 정부호 행렬로, 이산 라플라시안 역할 수행. (Non-Singular)
• $C_n$: 특이 행렬이며, 푸리에 변환과 관련됨. (Singular)
• $T_n$: 경계 조건이 다른 Toeplitz 행렬, 양의 정부호. (Non-Singular)
• $B_n$: 특이 행렬이며, null space 가 존재. (Singular)

이러한 행렬의 성질을 이해하면, 행렬 방정식 해법, 고유값 분석, 신호 처리 등 다양한 분야에서 효과적으로 활용할 수 있다.

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Reference

1. Gilbert Strang, Computational Science and Engineering, Wellesley-Cambridge Press, 2007. DOI: 10.1137/1.9780961408817. ↩︎